Question

【題目】已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點重合，過橢圓的右頂點任意作直線，交拋物線于，兩點，且，其中為坐標原點.

（1）試求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左焦點作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于點、、、，試求四邊形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：結合題意得，聯立直線與橢圓方程，結合算出橢圓方程討論斜率不存在和為零的情況，然后聯立直線與橢圓方程，結合弦長公式和面積公式進行計算。

解析：（1）∵雙曲線的焦點為，

∴橢圓中，，可知其右頂點為，

設直線的方程為，同聯立整理，

可得.

設，，，.

由，可知，

即，可知.

∴，.

可知橢圓的方程為.

（2）易知左焦點.

①當直線，中的一條直線的斜率不存在時，可知；

②當直線，的斜率均存在且不為零時，設的直線方程為，與橢圓方程聯立化簡得.

設，，

，.

可知

.

將用代換可得，

.

∵（當且僅當時，取等號），

∴.

∴，

可得.

綜合可知面積的取值范圍為.