Question

【題目】已知定義在上的函數滿足以下三個條件：

①對任意實數，都有；

②；

③在區間上為增函數．

（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；

（2）求證：；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）通過賦值，令，求，再賦值，求得函數是奇函數；

（2）同樣是賦值令，，再賦值證明；

（3）根據奇函數和周期性可得函數關于對稱，并且在單調遞增，在單調遞減，再利用賦值，可得，再利用函數性質解不等式.

（1）令 ，

，

， ，

令 ，代入得 ，

，

，，

函數是奇函數.

（2）令 ，

，

，，

，

.

（3）因為函數是上奇函數，所以滿足，

又 ，

，函數關于對稱，

因為函數在單調遞增，并且是奇函數，

在上也是單調遞增，

在上單調遞減，

令 ，代入可得，

函數關于對稱，，

，

解得： 或 ，

在單調遞增，且 ，（舍）

，

當 時， ，

又是周期為4的函數，

不等式的解集是.