Question

1．下列命題中正確的是（　　）

• A． 若$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，則λ=μ=0
• B． 若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$
• C． 若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|
• D． 若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）²

Answer 1

分析 舉反例：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，則λ≠0，μ≠0，$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$也成立，即可判斷A；
若非零向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，而此時$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$不成立，可判斷B；
由于$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，因為可能$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的方向相同或相反，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影為±|$\overrightarrow{a}$|，可判斷C；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即可得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）² ，可得D正確．

解答 解：若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，則λ≠0，μ≠0，$λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$也成立，因此A不正確；
若非零向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，而此時$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$不成立，故B不正確；
∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的方向相同或相反，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影為±|$\overrightarrow{a}$|，故C不成立；
∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即可得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$）² ，因此D正確．
綜上可知：只有D正確．
故選：D．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，熟練掌握向量共線定理、向量垂直與數量積性質等是解題的關鍵，是中檔題．