Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點．
（1）證明：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共線；
（2）設$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，當μ²+λ²=1且M在橢圓上時，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）直線與橢圓方程聯立，韋達定理得A、B兩點坐標的關系，即可證明結論；
（2）利用$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，當μ²+λ²=1且M在橢圓上，得出x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0，即可得出結論．

解答 （1）證明：設直線AB的方程為y=x+c，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
化簡得（a²+1）x²+2a²cx+a²c²-a²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+1}$
又y₁=x₁+c，y₂=x₂+c，∴y₁+y₂=-$\frac{2c}{{a}^{2}+1}$
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{m}$=（a²，-1）共線；
（2）解：設M（x，y），
由已知得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵M（x，y）在橢圓上，
∴（λx₁+μx₂）²+a²（λy₁+μy₂）²=a²．
即λ²（x₁²+a²y₁²）+μ²（x₂²+a²y₂²）+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．①
又x₁²+a²y₁²=a²，x₂²+a²y₂²=a²，μ²+λ²=1
∴x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+c）（x₂+c）=0．
∴（a²+1）x₁x₂+ca²（x₁+x₂）+a²（a²-1）=0
代入解得a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．

點評 考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯立用韋達定理．