Question

15．如圖，已知四邊形ABCD和ABEG均為平行四邊形，點E在平面ABCD內的射影恰好為點A，以BD為直徑的圓經過點A，C，AG的中點為F，CD的中點為P，且AD=AB=AE=2
（Ⅰ）求證：平面EFP⊥平面BCE
（Ⅱ）求幾何體ADC-BCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點E在平面ABCD內的射影恰為A，可得AE⊥平面ABCD，進一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD為直徑的圓經過A，C，AD=AB，可得BCD為正方形，再由線面垂直的性質可得BC⊥平面ABEG，從而得到EF⊥BC，結合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，從而得到∠AEF+∠AEB=$\frac{π}{2}$，有EF⊥BE．再由線面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：連接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，則AE⊥AD，又AB⊥AD，則AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等積法求幾何體ADC-BCE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵點E在平面ABCD內的射影恰為A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE?平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD為直徑的圓經過A，C，AD=AB，∴ABCD為正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，
又AG的中點為F，∴∠AEF=$\frac{π}{4}$．
∵∠AEF+∠AEB=$\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE．
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：連接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，
∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，
∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．
∴V_ADC-BCE=${V}_{G-ADE}+{V}_{E-ABCD}=\frac{1}{3}•GE•{S}_{△ADE}$$+\frac{1}{3}•AE•{S}_{ABCD}$
=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{3}×2×2×2=4$．
∴幾何體ADC-BCE的體積為4．

點評 本題主要考查點、線、面的位置關系以及體積的求法，考查運算求解能力及空間想象能力，是中檔題．