Question

3．已知直線l：x-$\sqrt{3}$y+3=0與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{16}{13}$
• C． $\frac{32}{13}$
• D． $\frac{30}{13}$

Answer 1

分析 聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+3=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得13y²-18$\sqrt{3}y$+15=0，利用弦長公式出|AB|，直線l：x-$\sqrt{3}$y+3=0的傾斜角為30°，從而|CD|=$\frac{|AB|}{cos30°}$，由此能求出結果．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+3=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
得13y²-18$\sqrt{3}y$+15=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{18\sqrt{3}}{13}$，
y₁y₂=$\frac{15}{13}$，
|AB|=$\sqrt{4[（\frac{18\sqrt{3}}{13}）^{2}-4×\frac{15}{13}]}$=$\frac{16\sqrt{3}}{13}$，
∵直線l：x-$\sqrt{3}$y+3=0的傾斜角為30°，
∴|CD|=$\frac{|AB|}{cos30°}$=$\frac{\frac{16\sqrt{3}}{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{32}{13}$．
故選：C．

點評 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓性質的合理運用．