Question

10．某濕地公園內有一條河，現打算建一座橋（如圖1）將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙（圖2）如下，

其中，點A，E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數的解析式為y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設計時要求：保持兩曲線在各銜接處（B，D）的切線的斜率相等．
（1）曲線段AB在圖紙上對應函數的解析式，并寫出定義域；
（2）車輛從A經B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：M=（該點P與橋頂間的水平距離）×（設計圖紙上該點P處的切線的斜率）其中M_P的單位：米．若該景區可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？

Answer 1

分析 （1）設出方程，利用B為銜接點，即可求出曲線段AB在圖紙上對應函數的解析式，并寫出定義域；
（2）分類討論，求最值，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意A為拋物線的頂點，設A（a，0）（a＜-2），則可設方程為y=λ（x-a）²（a≤x≤-2，λ＞0），y′=2λ（x-a）．
曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數的解析式為y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），
y′=$\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$，且B（-2，1），則曲線在B處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ（-2-a）^{2}=1}\\{2λ（-2-a）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a=-6，λ=$\frac{1}{16}$，
∴曲線段AB在圖紙上對應函數的解析式為y=$\frac{1}{16}（x+6）^{2}$（-6≤x≤-2）；
（2）設P為曲線段AC上任意一點．
①P在曲線段AB上，則通過該點所需要的爬坡能力（M_P）₁=$（-x）•\frac{1}{8}（x+6）$=$-\frac{1}{8}[（x+3）^{2}-9]$，
在[-6，-3]上為增函數，[-3，-2]上是減函數，最大為$\frac{9}{8}$米；
②P在曲線段BC上，則通過該點所需要的爬坡能力（M_P）₂=$（-x）•\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{16{x}^{2}}{（4+{x}^{2}）^{2}}$（x∈[-2，0]），
設t=x²，t∈[0，4]，（M_P）₂=y=$\frac{16t}{（4+t）^{2}}$．
t=0，y=0；0＜t≤4，y=$\frac{16}{\frac{16}{t}+t+8}$≤1（t=4取等號），此時最大為1米．
由上可得，最大爬坡能力為$\frac{9}{8}$米；
∵0.8＜$\frac{9}{8}$＜1.5＜2，
∴游客踏乘不能順利通過該橋；蓄電池動力和內燃機動力能順利通過該橋．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查導數知識的運用，確定函數的解析式是關鍵．