Question

18．若函數f（x）=log_a（a^x-t）（a＞0且a≠1）在區間[$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$]上的值域為[m，n]，則實數t的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根據函數f（x）的單調性得出log_a（a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t）=x有兩解，令a${\;}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0），則關于m的方程t=m-m²有兩解，根據二次函數的性質得出t的范圍．

解答 解：∵y=a^x-t與y=log_ax的單調性相同，
∴f（x）=log_a（a^x-t）（a＞0且a≠1）在定義域上是增函數，
∵f（x）區間[$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$]上的值域為[m，n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（{a}^{\frac{m}{2}}-t）=m}\\{lo{g}_{a}（{a}^{\frac{n}{2}}-t）=n}\end{array}\right.$，
∴方程log_a（a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t）=x有兩解，即方程a^x=a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t有兩解，
設a${\;}^{\frac{x}{2}}$=m（m＞0），則t=m-m²，
作出t=m-m²（m＞0）的函數圖象如圖所示：

∵方程a^x=a${\;}^{\frac{x}{2}}$-t有兩解，∴關于m的方程t=m-m²有兩解，
∴0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故選C．

點評 本題考查了對數函數，指數函數和二次函數的性質，換元法解題思想，屬于中檔題．