Question

13．已知函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）試確定該函數的解析式；
（2）該函數的圖角可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．

解答 解：（1）∵由圖知：A=2，…（1分）
∴T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，…（2分）
∴T=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，
∴y=2sin（2x+φ），…（3分）
把（$\frac{5π}{12}$，2）代入得2sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=2，
可得：sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，可得：φ=-$\frac{π}{3}$，（注：其它方法酌情給分）
∴y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．                                     …（5分）
（2）y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象可由y=sinx的圖象
先向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度，再保持縱坐標不變橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，最后保持橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍得到．
（或先保持縱坐標不變橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，再向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，最后保持橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍得到．）                    …（8分）
（注：如果三步變換中的某一步的變換不正確，本問得0分）

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．