Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知經(jīng)過原點的圓C的圓心在x軸正半軸上，且圓心到直線3x+4y+1=0的距離為2．
（1）求圓C的方程；
（2）若橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，已知點P在圓C上且使∠F₁PF₂為鈍角，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)圓C的方程為（x-a）²+y²=a²（a＞0），再由點到直線的距離公式可得a的值，進而得到所求圓C的方程；
（2）運用橢圓的離心率公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b，c，進而得到左右焦點的坐標(biāo)，求得以線段F₁F₂為直徑的圓方程，結(jié)合圓C的方程，解得交點，結(jié)合圖形即可得到所求P的橫坐標(biāo)的范圍．

解答 解：（1）由經(jīng)過原點的圓C的圓心在x軸正半軸上，
設(shè)圓C的方程為（x-a）²+y²=a²（a＞0），圓心（a，0），半徑為a，
由圓心到直線3x+4y+1=0的距離為2，
可得$\frac{|3a+1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，解得a=3，
則圓C的方程為（x-3）²+y²=9；
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，即有F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），
以線段F₁F₂為直徑的圓為x²+y²=12，
聯(lián)立圓C的方程，可得兩圓的交點為（2，±2$\sqrt{2}$），此時∠F₁PF₂=90°，
要使∠F₁PF₂為鈍角，點P橫坐標(biāo)的取值范圍為（0，2）．

點評 本題考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法和點到直線的距離公式，考查橢圓的方程和性質(zhì)：離心率，注意結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．