Question

已知函數f（x）=a+

1

2x-1

（a∈R）是奇函數．
（1）求a的值；
（2）討論函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并求函數f（x）在[1，t]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）運用奇函數的定義即為f（-x）+f（x）=0，代入化簡即可得到a；
（2）運用指數函數的單調性，即可判斷f（x）的單調性，再由單調性即可得到最值．

解答： 解：（1）函數f（x）=a+

1

2x-1

（a∈R）是奇函數，
則f（-x）+f（x）=0，
2a+

1

2-x-1

+

1

2x-1

=0，
即為2a+

2x

1-2x

+

1

2x-1

=0，即有2a=1，解得，a=

1

2

；
（2）當x＞0時，2^x-1＞0，2^x遞增，2^x-1遞增，

1

2x-1

遞減，
則f（x）在（0，+∞）遞減．
函數f（x）在[1，t]上遞減，則有f（x）的最大值為f（1）=

1

2

+

1

2-1

=

3

2

，
最小值為f（t）=

1

2

+

1

2t-1

．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查定義法的運用和指數函數的單調性，考查運算能力，屬于基礎題．