Question

已知函數f（x）=e^x-x²，若?x∈[1，2]，不等式-m≤f（x）≤m²-4恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1-e]
• B、[1-e，e]
• C、[-e，e+1]
• D、[e，+∞）

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由題意，求導再二階求導，從而確定函數的單調性，從而求函數的最值，化恒成立問題為最值問題即可．

解答： 解：∵f（x）=e^x-x²，
∴f′（x）=e^x-2x，
∴f″（x）=e^x-2，
∵x∈[1，2]，
∴f″（x）=e^x-2＞0，
故f′（x）=e^x-2x在[1，2]上是增函數，
故f′（x）=e^x-2x≥e-2＞0；
故f（x）=e^x-x²在[1，2]上是增函數，
故e-1≤e^x-x²≤e²-4；
故-m≤f（x）≤m²-4恒成立可化為
-m≤e-1≤e²-4≤m²-4；
故m≥e；
故選D．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．