Question

某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統（簡稱系統）甲和乙，系統甲和系統乙在任意時刻發生故障的概率分別為

1

5

和P，若在任意時刻至多有一個系統發生故障的概率為

49

50

．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）設系統乙在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望E（ξ）和方差D（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）記“系統甲發生故障、系統乙發生故障”分別為事件A、B，“任意時刻至多有一個系統發生故障”為事件C．則P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B），由此能求出P的值．
（Ⅱ）依題意ξ～B（3，

9

10

），由此能求出E（ξ）和D（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）記“系統甲發生故障、系統乙發生故障”分別為事件A、B，
“任意時刻至多有一個系統發生故障”為事件C．
則P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B）=1-

1

5

•P=

49

50

，
∴P=

1

10

（Ⅱ）依題意ξ～B（3，

9

10

），
∴E（ξ）=3×

9

10

=

27

10

，
D（ξ）=3×

9

10

×

1

10

=

27

100

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．