Question

7．《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻”問題：“今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問何日相逢，各穿幾何？”
在兩鼠“相逢”時，大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是59：26．

Answer 1

分析 第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了$\frac{1}{2}$尺；第三天設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5-X）尺，則X÷4=（0.5-x）÷$\frac{1}{4}$，由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比．

解答 解：第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；
第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了$\frac{1}{2}$尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺．
第三天按道理來說大鼠打4尺，小鼠$\frac{1}{4}$尺，
可是現在只剩0.5尺沒有打通了，所以在第三天肯定可以打通．
我們現在設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5-X）尺
則打洞時間相等：
X÷4=（0.5-x）÷$\frac{1}{4}$
解方程得X=$\frac{8}{17}$，
所以大鼠在第三天打了8/17尺，
小鼠打了0.5-$\frac{8}{17}$=$\frac{1}{34}$尺
所以三天總的來說：大鼠打了3+$\frac{8}{17}$=$\frac{59}{17}$尺，小鼠打了5-$\frac{59}{17}=\frac{26}{17}$尺，
∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是59：26．
故答案為：59，26．

點評 本題考查等差數列與等比數列在生產生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．