Question

12．函數y=f（x）圖象上不同兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_M，k_N，規定φ（M，N）=$\frac{{|{{k_M}-{k_N}}|}}{{|{MN}|}}$（|MN|為線段MN的長度）叫做曲線y=f（x）在點M與點N之間的“彎曲度”．①函數f（x）=x³+1圖象上兩點M與點N的橫坐標分別為1和2，φ（M，N）=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
②設曲線f（x）=x³+2上不同兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁•x₂=1，則φ（M，N）的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）．

Answer 1

分析 對于①，由y=x³+1，得y′=3x²，則k_M=3，k_N=12，則|k_M-k_N|=9，y₁=2，y₂=9，則|MN|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（9-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，即可求出φ（M，N）=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
對于②，利用定義，再換元，即可得出結論．

解答 解：對于①，由y=x³+1，得y′=3x²，
則k_M=3，k_N=12，則|k_M-k_N|=9，y₁=2，y₂=9，則|MN|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（9-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
φ（M，N）=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
②曲線f（x）=x³+2，則f′（x）=3x²，
設x₁+x₂=t（|t|＞2），則φ（M，N）=$\frac{|3{{x}_{1}}^{2}-3{{x}_{2}}^{2}|}{\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}^{3}）^{2}}}$=$\frac{3|t|}{\sqrt{1+（{t}^{2}-1）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}-2}}$，
∴0＜φ（M，N）＜$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$，（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）．

點評 本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．