Question

17．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 令b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，求得首項；當n≥2時，根據已知條件S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）推知${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-（{2^n}-2）={2^n}$，易得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n，運用分組求和和錯位相減求和．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}={2^{n+1}}-2$，
當n=1時，${a_1}={2^2}-2=2$，
當n≥2，${S_{n-1}}={2^n}-2$，
則${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-（{2^n}-2）={2^n}$，
當n=1時，a₁=2滿足上式，
所以${a_n}={2^n}$．
（Ⅱ） 由（Ⅰ），${b_n}=n{a_n}=n×{2^n}$．
則${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$，
所以$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+n×{2^{n+1}}$，
則$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．
所以${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

點評 本題考查等比數列的通項和求和公式，同時考查數列的通項與前n項和的關系式，以及數列的求和方法：錯位相減，屬于中檔題．