Question

12．如圖，已知矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（1）求證AD⊥BM．；
（2）若E是線段DB的中點，求二面角E-AM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BM⊥AM，BM⊥面ADM，由此能證明BM⊥AD．
（2）以AM中點O為原點，OA為x軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AM-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM，
∵面ADM⊥面ABCM，
∴BM⊥面ADM，
∵AD?面ADM，∴BM⊥AD．
解：（2）以AM中點O為原點，OA為x軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{3}{2}$，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，0），
平面AMD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設平面EAM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=\frac{3}{2}x-y-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
設二面角E-AM-D的平面角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．