Question

20．已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=-f（x），且當x∈（-1，1]時，f（x）=|x|，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinπx，x＞0\\-\frac{1}{x}，x＜0\end{array}$，則函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]上的零點的個數為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由已知可得函數y=f（x）是周期為2的周期函數，結合當x∈（-1，1]時，f（x）=|x|，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinπx，x＞0\\-\frac{1}{x}，x＜0\end{array}$，作出在區間[-5，5]上f（x）與g（x）的圖象，數形結合可得函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]上的零點的個數．

解答 解：由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是以2為周期的周期函數，又當x∈（-1，1]時，f（x）=|x|，
∴作出函數y=f（x）與y=g（x）的圖象如圖：

由圖可知，函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]上的零點的個數為9個．
故選：B．

點評 本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是中檔題．