Question

15．已知函數f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx（a≠0）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值（其中e是自然對數的底數）；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求證：ln$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，再根據導數和函數的最值的關系即可求出，
（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性即可求出單調區間，
（Ⅲ）原不等式轉化為1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0，根據（Ⅰ）的結論即可證明．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=$\frac{x-1}{x}$-lnx=1-$\frac{1}{x}$-lnx，f（x）的定義域為（0，+∞）．
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴由f′（x）＞0，解得0＜x＜1，f′（x）＜0，解得x＞1，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴在[$\frac{1}{e}$，1]上單調遞增，在[1，e]上單調遞減．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值為f（1）=1-1-ln1=0．
又f（$\frac{1}{e}$）=1-e-ln$\frac{1}{e}$=2-e，f（e）=1-$\frac{1}{e}$-lne=-$\frac{1}{e}$，
∴f（$\frac{1}{e}$）＜f（e）．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為f（$\frac{1}{e}$）=2-e．
（Ⅱ）由題得，f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=$\frac{1×ax-a（x-1）}{（ax）^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-ax}{a{x}^{2}}$=-$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$
若a＜0，∵x＞0，
∴x-$\frac{1}{a}$＞0，
∴f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
若a＞0，當x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上，若a＜0，f（x）的單調減區間為（0，+∞）；
若a＞0，f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$），單調減區間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（Ⅲ）要證：ln$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$，
需證2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，
需證1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0．
由（Ⅰ）可知，f（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=1-1-ln1=0，即f（x）≤0．
∴1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0恒成立．
∴ln$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和最值的關系，以及不等式恒成立，考查了學生的運算能力，轉化能力，屬于中檔題．