Question

20．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件．經試銷調查，發現銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）可近似看作一次函數y=kx+b的關系（如圖所示）．
（1）由圖象，求函數y=kx+b的表達式；
（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元．試用銷售單價x表示毛利潤S，并求銷售單價定為多少時，該公司獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？

Answer 1

分析 （1）把點（700，300）和點（600，400）分別代入一次函數y=kx+b，解方程組求得k和b的值，即可得到一次函數y=kx+b的表達式．
（2）由題意可得 S=y•x-500y，化簡可得S=-x²+1500x-500000，利用二次函數性質求出函數的最大值以及函數取最大值時x的值．

解答 解：（1）把點（700，300）和點（600，400）分別代入一次函數y=kx+b
可得 300=700k+b，且400=600k+b，
解得 k=-1，b=1000，
故一次函數y=kx+b的表達式為 y=-x+1000（500≤x≤800）． 6分
（2）∵公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S，
則S=y•x-500y=（-x+1000 ）x-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000．
故函數S的對稱軸為x=750，滿足500≤x≤800，故當x=750時，函數S取得最大值為62500元，
即當銷售單價定為750元/價時，該公司可獲得最大的毛利潤為62500元，此時y=250． 14分．

點評 本題主要考查用待定系數法求直線方程，二次函數性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．