Question

12．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0），滿足條件f（0）=0，f（1+x）=f（1-x）恒成立，且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意：f（0）=0，f（1+x）=f（1-x）恒成立，且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．△=0，可求a，b，c的值，可得解析式
（Ⅱ）（m＜n），f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]，利用單調性求解．

解答 解：（Ⅰ）因為二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足條件f（0）=0，∴c=0，
又 f（1+x）=f（1-x）恒成立，∴函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
而二次函數的對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}$，∴$-\frac{b}{2a}=1$①
又方程f（x）=x有等根，即 ax²+（b-1）x=0有等根．∴△=（b-1）²=0②
由①②得 $b=1，\;\;a=-\frac{1}{2}$，
∴函數f（x）的解析式$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$，
對稱軸x=1，
如果存在滿足條件的m，n，則必需$3n≤\frac{1}{2}$，∴$n≤\frac{1}{6}$，
從而$m＜n≤\frac{1}{6}＜1$，而x≤1時，f（x）單調遞增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m^2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n^2}+n=3n}\end{array}}\right.$，解得 m=-4，n=0．
所以，存在m=-4，n=0滿足條件．

點評 本題考查二次函數的解析式的求法和性質的運用．屬于中檔題．