Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-2，S_n=2a_n-3n（n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=-2，S_n=2a_n-3n，a₂=4．可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，即a_n=2a_n-1+3，化為a_n+3=2（a_n-1+3），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）由a₁=-2，S_n=2a_n-3n，a₂=4．
由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，即a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
而a₂+3=7，
∴n≥2時{a_n+3}是以7為首項，公比為2的等比數列，
即an+3=7•2n-2，
∴an=

-2，n=1 7•2n-2-3，n≥2

．
（2）由（1）知：n≥2時nan=7n•2n-2-3n．
設n≥2時{n•2^n-2}的從第2到n項和T_n-1，
則Tn-1=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2，
2Tn-1=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1．
上面兩式相減得-Tn-1=2+2+22+…2n-2-n×2n-1=2n-n×2n-1．
∴Tn-1=(n-2)×2n-1，
∴S₁=-2，
n≥2時Sn=a1+Tn-1=7(n-1)×2n-1-

3(n+2)(n-1)

2

-2．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．