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如圖,已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C,動點P到直線l的距離為d,若d=
2
|PD|
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若軌跡上的點P與同一平面上的點G、M分別滿足
GD
=2
DC
,
MP
=3
PD
GM
PG
+
GM
PM
=0,求以P、G、D為頂點的三角形的面積.
考點:軌跡方程
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)由已知可得點P的軌跡是D為焦點,l為相應準線的橢圓,結合離心率、準線與焦點的距離求得a,c的值,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)由已知關系可得G為橢圓的左焦點,再由已知的等式推得∴△PDG為直角三角形,∠PDG=90°,然后由三角形的面積公式得答案.
解答: 解:(Ⅰ)∵d=
2
|PD|,
|PD|
d
=
2
2
∈(0,1),
∴點P的軌跡是D為焦點,l為相應準線的橢圓.
e=
c
a
=
2
2
,又
a2
c
-c=1
,
解得a=
2
,c=1
,
于是b2=a2-c2=1
以CD所在直線為x軸,以CD與⊙D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系.
∴所求點P的軌跡方程為
x2
2
+y2=1
;
(Ⅱ)∵
GD
=2
DC
,|
GD
|=2
,G為橢圓的左焦點.
又∵
GM
PG
+
GM
PM
=0

GM
•(
PG
+
PM
)=0

由題意,
GM
0
,
PG
+
PM
0
(否則P、G、M、D四點共線與已經矛盾),
(
PM
-
PG
)•(
PG
+
PM
)=0
PM
2
-
PG
2
=0
,
|
PG
|=|
PM
|=3|
PD
|

又∵點P在橢圓上,
|
PG
|+|
PM
|=2a=2
2
,|
PD
|=
2
2
,|
PG
|=
3
2
2

又∵|
GD
|=2
,
∴△PDG為直角三角形,∠PDG=90°.
S△PDG=
1
2
×
2
2
×2=
2
2
點評:本題考查了軌跡方程的求法,考查了橢圓的第二定義,訓練了利用平面向量求解圓錐曲線問題,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

設有動點P,依次沿正方形ABCD的頂點A、B、C、D、A、B…移動,首先以A為出發點,根據一個骰子所擲出的點數移動點P,擲出幾點就移動幾步.其次以移動后所到達的點為出發點,再次進行同樣的試驗.
(1)問:在第一次投擲中,點P移動到點 A、B、C的概率分別是多少?
(2)試求在第2次投擲后,點P恰好到點A的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=x2+2x-3與函數g(x)的圖象關于x=3對稱,則g(x)的表達式為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

P為曲線C1
x=1+cosθ
y=sinθ
,(θ為參數)上一點,則它到直線C2
x=1+2t
y=2
(t為參數)距離的最小值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設四面體ABCD的六條棱的長分別為1,1,
2
,
2
2
2
,則其外接球的表面積為(  )
A、
2
B、
3
C、
4
6
π
27
D、
8
6
π
27

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=sin(ωx+
π
3
)(ω>0)的最小正周期為π,則該函數圖象( 。
A、關于直線x=
π
4
對稱
B、關于直線x=
π
3
對稱
C、關于點(
π
4
,0)對稱
D、關于點(
π
3
,0)對稱

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=-2,Sn=2an-3n(n≥2).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{nan}的前n項和Sn

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科目:高中數學 來源: 題型:

圓x2+y2-2x-6y+9=0關于直線2x+y+5=0對稱的圓的方程是( 。
A、(x+7)2+(y+1)2=1
B、(x+7)2+(y+2)2=1
C、(x+6)2+(y+2)2=1
D、(x+6)2+(y-2)2=1

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科目:高中數學 來源: 題型:

如右圖所示,在兩個圓盤中,指針在本圓盤每個數所在區域的機會均為
1
6
,那么兩個指針至少有一落在奇數所在區域的概率是( 。
A、
8
9
B、
2
9
C、
4
9
D、
1
3

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同步練習冊答案
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