Question

3．近年來，我國電子商務蓬勃發展.2016年“618”期間，某網購平臺的銷售業績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統．從該評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，網購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次．
（Ⅰ） 根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并回答能否有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”？

	對服務滿意	對服務不滿意	合計
對商品滿意	80
對商品不滿意
合計			200

（Ⅱ） 若將頻率視為概率，某人在該網購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿
意的次數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望EX．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$（其中n=a+b+c+d為樣本容量）

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數據直接填寫聯列表即可，求出X²，即可回答是否有95%的把握認為性別和對手機的“認可”有關；
（Ⅱ）由題意可得X的可能值，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數學期望．．

解答 解：（Ⅰ） 2×2列聯表：

	對服務滿意	對服務不滿意	合計
對商品滿意	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

…（2分）${K^2}=\frac{{200×{{（{80×10-40×70}）}^2}}}{150×50×120×80}≈11.111$，…（3分）
因為11.111＞6.635，
所以能有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”．…（4分）
（Ⅱ） 每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3．
…（6分）$P（{X=0}）={（{\frac{3}{5}}）^3}=\frac{27}{125}；P（{X=1}）=C_3^1（{\frac{2}{5}}）×{（{\frac{3}{5}}）^2}=\frac{54}{125}$；$P（{X=2}）=C_3^2{（{\frac{2}{5}}）^2}×{（{\frac{3}{5}}）^1}=\frac{36}{125}$；$P（{X=3}）=C_3^3{（{\frac{2}{5}}）^3}×{（{\frac{3}{5}}）^0}=\frac{8}{125}$．…（10分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（11分）
所以$EX=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（12分）

點評 本題考查獨立檢驗以及離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉化思想以及計算能力．