Question

3．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=2，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）在側棱AA₁上是否存在點P，使得C₁A⊥面BPC？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （I）連結B₁C交BC₁于E，連結DE，利用中位線定理得出DE∥AB₁，故而AB₁∥面BDC₁；
（II）證明C₁A⊥平面A₁BC，故而可知當P與A₁重合時C₁A⊥面BPC．

解答 證明：（I）連結B₁C交BC₁于E，連結DE，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴E是B₁C的中點，又D是AC的中點，
∴DE∥AB₁，又∵DE?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．
（II）當P與A₁重合時，C₁A⊥面BPC．
證明如下：
∵AA₁⊥面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，又BC⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵C₁A?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥C₁A，
∵四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，AC=AA₁=2，
∴四邊形ACC₁A₁是菱形，∴C₁A⊥A₁C，
又A₁C∩BC=C，A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴C₁A⊥平面BA₁C．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，屬于中檔題．