Question

12．現需建造一個容積為V的圓柱形鐵桶，它的蓋子用鋁合金材料，已知單位面積的鋁合金的價格是鐵的3倍．要使該容器的造價最低，則鐵桶的底面半徑r與高h的比值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設圓柱形鐵桶的底面半徑為r，則其高h=$\frac{V}{π{r}^{2}}$，記單位面積鐵的價格為a，故其總造價y=a（2πr•$\frac{V}{π{r}^{2}}$+πr²）+3aπr²=a（$\frac{2V}{π}$+4πr²），求導確定函數的單調性，從而求最小值及最小值點，進一步求其高，則答案可求．

解答 解：設圓柱形鐵桶的底面半徑為r，則其高為h=$\frac{V}{π{r}^{2}}$．
記單位面積鐵的價格為a，
故其總造價y=a（2πr•$\frac{V}{π{r}^{2}}$+πr²）+3aπr²
=a（$\frac{2V}{r}$+4πr²），
y′=a（-$\frac{2V}{{r}^{2}}$+8πr）=a$\frac{8π{r}^{3}-2V}{{r}^{2}}$．
故當r∈（0，$\root{3}{\frac{V}{4π}}$）時，y′＜0，
當r∈（$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，+∞）時，y′＞0；
故y=a（$\frac{2V}{r}$+4πr²）在（0，$\root{3}{\frac{V}{4π}}$）上是減函數，
在（$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，+∞）上是增函數．
∴當r=$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，即其高為h=$\frac{V}{π（\root{3}{\frac{V}{4π}}）^{2}}$=$2•\root{3}{\frac{2V}{π}}$時，容器的造價最低，
此時$\frac{r}{h}=\frac{\root{3}{\frac{V}{4π}}}{2•\root{3}{\frac{2V}{π}}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了導數在實際問題中的應用，同時考查了幾何體的表面積的求法，屬于中檔題．