Question

1．已知函數f（x）=|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1，解不等式f（x）+|x-3|≤2x；
（2）若不等式f（x）+|x-1|≥3在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；（2）根據絕對值的性質問題轉化為|a+1|≥3即可，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）依題意，|x+1|+|x-3|≤2x．
當x＜-1時，原不等式化為-1-x+3-x≤2x，解得x≥21，故無解；
當-1≤x≤3時，原不等式化為x+1+3-x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；
當x＞3時，原不等式化為x+1+x-3≤2x，即-2≤0恒成立．
綜上所述，不等式f（x）+|x-3|≤2x的解集為[2，+∞）．（5分）
（2）f（x）+|x-1|≥3?|x+a|+|x-1|≥3恒成立，
由|x+a|+|x-1|≥|a+1|可知，只需|a+1|≥3即可，
故a≥2或a≤-4，即實數a的取值范圍為{a|a≥2或a≤-4}．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．