Question

20．已知函數f（x）=e^x+x-1（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在第一問的基礎上，求切線方程與坐標軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）設切線與x軸、y軸的交點分別為A、B，分別令y=0和y=0，可得A，B，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（I）f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，
f′（x）=e^x+1，f′（1）=e+1，
函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x-1；
（Ⅱ）設切線與x軸、y軸的交點分別為A、B，
∴A（$\frac{1}{e+1}$，0），B（0，-1），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e+1}$×1=$\frac{1}{2（e+1）}$，
∴切線與坐標軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2（e+1）}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，考查三角形的面積公式的運用，屬于基礎題．