Question

17．在△ABC中，若2sin$\frac{B}{2}$•cos$\frac{B}{2}$•sinC=cos²$\frac{A}{2}$，則△ABC是（　　）

• A． 等邊三角形
• B． 等腰三角形
• C． 非等腰三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 由已知利用倍角公式，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得cos（B-C）=1，結合角的范圍，即可得解△ABC是等腰三角形．

解答 解：∵2sin$\frac{B}{2}$•cos$\frac{B}{2}$•sinC=cos²$\frac{A}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{1+cosA}{2}$，可得：2sinBsinC=1+cosA=1-（cosBcosC-sinBsinC），
∴sinBsinC=1-cosBcosC，可得：sinBsinC+cosBcosC=1，
∴cos（B-C）=1，
∵B，C∈（0，π），
∴B-C∈（-π，π），
∴B-C=0，可得：B=C，則△ABC是等腰三角形．
故選：B．

點評 本題主要考查了倍角公式，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．