Question

17．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且在區間[0，+∞）上單調遞增，若$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＞f（1）$，則x的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞\;，\;\;\frac{1}{e}）$
• B． （e，+∞）
• C． $（\frac{1}{e}\;，\;\;e）$
• D． $（0\;，\;\;\frac{1}{e}）$∪（e，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）為定義在R上的奇函數便可得到f（lnx）-f（ln$\frac{1}{x}$）=2f（lnx），從而由原不等式可得到|f（lnx）|＞f（1），進一步便得到f（lnx）＜-f（1）或f（lnx）＞f（1），可以說明f（x）在R上單調遞增，從而便得到lnx＜-1或lnx＞1，這樣便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）為定義在R上的奇函數；
∴f（lnx）-f（ln$\frac{1}{x}$）=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；
∴由$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＞f（1）$得，|f（lnx）|＞f（1）；
∴f（lnx）＜-f（1）或f（lnx）＞f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上是增函數，∴f（x）在（-∞，0]上為增函數；
∴f（x）在R上為增函數；
∴lnx＜-1或lnx＞1；
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$或x＞e
∴原不等式的解集為（0，$\frac{1}{e}$）∪（e，+∞）
故選：D．

點評 考查奇函數的定義，對數的運算性質，以及絕對值不等式的解法，奇函數在對稱區間上的單調性特點，以及增函數的定義，對數函數的單調性．