Question

17．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），直線l經過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{3}$，設直線l與曲線C相交于A，B兩點，則|PA|•|PB|的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系消去參數θ可得普通方程：x²+y²-2x-4y-11=0．直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入到圓C的方程可得：t²+（3+2$\sqrt{3}$）t-3=0，設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，由直線標準參數方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系消去參數θ可得：（x-1）²+（y-2）²=16．展開為：
x²+y²-2x-4y-11=0．
直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入到圓C的方程可得：t²+（3+2$\sqrt{3}$）t-3=0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-3．
點P（3，5）顯然在直線l上，
由直線標準參數方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3，
所以|PA|•|PB|=3．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．