Question

18．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線l：$\sqrt{3}x+y-4=0$相切，且圓O與坐標軸x正半軸交于A，y正半軸交于B，點P為圓O上異于A，B的任意一點．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值及點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點到直線的距離公式求出O到直線$\sqrt{3}x+y-4=0$的距離，即圓的半徑，代入圓的標準方程得答案；
（Ⅱ）由圓的方程求出A，B的坐標，設出P的坐標，把$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$轉化為三角函數求最值．

解答 解：（Ⅰ）由點到直線的距離公式可得，圓心O到直線$\sqrt{3}x+y-4=0$的距離r=$\frac{|-4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}=2$．
∴圓O的方程：x²+y²=4；
（Ⅱ）由圓的方程可得A（2，0），B（0，2），
設P（x，y）=（2cosθ，2sinθ）（θ≠0，$\frac{π}{2}$），則
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（2-x，-y）•（-x，2-y）={x^2}-2x+{y^2}-2y$
=4cos²θ-4cosθ+4sin²θ-4sinθ
=$4-4\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
∴當θ$+\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，即θ=$-\frac{3}{4}π+2kπ$，k∈Z時，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最大值$4+4\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的標準方程，訓練了點到直線距離公式的應用，考查利用圓的參數方程求最值，是中檔題．