Question

3．對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]
（2）判斷函數f（x）=$\frac{x}{x+1}$是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+$\sqrt{x+2}$是閉函數，求實數k的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的單調性得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）將f（x）變形，得到f（x）的單調區間，根據閉函數的定義判斷即可；
（3）根據閉函數的定義得到方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個不等的實根，通過討論k，得到關于k的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，則$\left\{\begin{array}{l}b=-{a^3}\\ a=-{b^3}\\ b＞a\end{array}\right.解得\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1.\end{array}\right.$，
所以，所求的區間為[-1，1]（4分）
（2）$f（x）=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，+∞）上單調遞增，
所以，函數在定義域上不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數．（8分）
（3）若$y=k+\sqrt{x+2}$是閉函數，則存在區間[a，b]，在區間[a，b]上，
函數f（x）的值域為[a，b]，即$\left\{\begin{array}{l}a=k+\sqrt{a+2}\\ b=k+\sqrt{b+2}\end{array}\right.$，
∴$a，b為方程x=k+\sqrt{x+2}$的兩個實數根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個不等的實根．（10分）
當$k≤-2時，有\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（-2）≥0\\ \frac{2k+1}{2}＞-2\end{array}\right.解得-\frac{9}{4}＜k≤-2$．
當$k=-2時，有\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（k）≥0\\ \frac{2k+1}{2}＞k\end{array}\right.$此不等式組無解．
綜上所述，$k∈（-\frac{9}{4}，-2]$（14分）

點評 本題考查了新定義問題，考查函數的單調性問題，是一道中檔題．