Question

1．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角后的圖形如圖所示，若E為線段BC的中點，則直線AE與平面ABD所成角的余弦為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{30}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$

Answer 1

分析 取DB中點O，連接CO、AO，過E作EH∥CO交DB于H，則有EH⊥面ADB．H為OB中點，連接AH，則∠EAH就是直線AE與平面ABD所成的角；在Rt△AHE中可求得直線AE與平面ABD所成角的余弦

解答 解：如圖所示，取DB中點O，連接CO、AO，
∵四邊形ABCD為正方形，∴CO⊥DB．
又∵面DCB⊥面ADB，∴CO⊥面ABD，
過E作EH∥CO交DB于H，則有EH⊥面ADB．H為OB中點，
連接AH，則∠EAH就是直線AE與平面ABD所成的角．
設正方形ABCD的邊長為2，則EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AH=$\sqrt{A{O}^{2}+O{H}^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴$AE=\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}=\sqrt{3}$，
cos∠EAH=$\frac{AH}{AE}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，∴直線AE與平面ABD所成角的余弦為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
故選：C．

點評 本題考查了面面垂直的性質，線面角的求解，考查了轉化思想，屬于中檔題．