Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與y²=4$\sqrt{3}$x的焦點重合，點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求△OPQ面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點坐標，則c=$\sqrt{3}$，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，根據韋達定理及中點坐標，求得PQ的中點，利用中點坐標及中點坐標，根據二次函數的性質，即可求得△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點為$（\sqrt{3}，0）$，故得$c=\sqrt{3}$，
所以a²=b²+3，因點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上，
∴$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的中點為（x₀，y₀），
將直線y=kx+m（k≠0）代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=16（1+4k²-m²）＞0，則${x_0}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=-\frac{m}{{1+4{k^2}}}$，
因為（-1，0）是以PQ為對角線的菱形的一頂點，且不在橢圓上，
∴$\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+1}}=-\frac{1}{k}$，即3km=1+4k²，解得${k^2}＞\frac{1}{5}$，設O到直線的距離為$d=\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
則$S=\frac{1}{2}d|PQ|=\frac{1}{2}×\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}×$$\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{2}{9}\sqrt{20+\frac{1}{k^2}-\frac{1}{k^4}}$，
當$\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}$，即$k=±\sqrt{2}$時，三角形面積最大為1．
∴△OPQ面積的最大值1．

點評 本題考查橢圓及拋物線的性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及中點坐標公式，考查二次函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．