Question

2．已知點(diǎn)P在拋物線y²=x上，點(diǎn)Q在圓（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-4）²=1上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}-1$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-1$
• C． $2\sqrt{3}-1$
• D． $\sqrt{10}-1$

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求得圓心與半徑，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得丨PC丨，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得丨PC丨的最小值，則丨PQ丨_min=丨PC丨_min-r，即可求得答案．

解答 解：∵點(diǎn)P在拋物線y²=x上，設(shè)P（t²，t），
∵圓（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-4）²=1的圓心C（-$\frac{1}{2}$，4），半徑r=1，
∴|PC|²=（t²+$\frac{1}{2}$）²+（t-4）²，
=t⁴+2t²-8t+$\frac{65}{4}$，
設(shè)f（t）=t⁴+2t²-8t+$\frac{65}{4}$，f′（t）=4t³+4t-8，f″（t）=12t²+4＞0恒成立，
∴f′（t）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)f′（t）=0，解得：t=1，
∴f（t）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)，取最小值，最小值為$\frac{45}{4}$，
∴丨PC丨的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
則丨PQ丨的最小值為：丨PQ丨_min=丨PC丨_min-r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1，
∴|PQ|的最小值$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)和圓上的動(dòng)點(diǎn)間的距離的最小值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．