Question

8．雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{10}$，則其漸近線方程為（　　）

• A． y=±3x
• B． $y=±\frac{1}{2}x$
• C． y=±2x
• D． $y=±\frac{1}{3}x$

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$，變形可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=10，解可得$\frac{b}{a}$的值，進而由雙曲線的方程可得其漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，將$\frac{b}{a}$的值代入即可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{10}$，
則有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$，即e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=10，
解可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=9，即$\frac{b}{a}$=3，
又由雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1的焦點在x軸上，其漸近線方程為：y=±$\frac{b}{a}$x，
則該雙曲線的漸近線方程為y=±3x，
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，注意雙曲線的離心率與漸近線斜率的關系．