Question

3．已知函數f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）有兩個零點，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 求出f'（x）=xe^x+ax=x（e^x+a），通過（i）當a≥0時，判斷函數的單調性，判斷零點個數；（ii）若a＜0，判斷f（x）零點個數．（iii）若a=-1，利用單調性判斷零點個數即可．

解答 解：f′（x）=）=（x-1）e^x+e^x+ax=x（e^x+a），
①當a≥0時，e^x+a＞0，∴x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，且f（0）=0，
此時f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）不存在有兩個零點；
②當a=-1時，f′（x）≥0恒成立，函數f（x）單調，此時f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）不存在有兩個零點；
③當a＜0且a≠-1時，令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（-a）  （a≠-1）．
a∈（-1，0）時，x₂＜0，函數在（-∞，ln（-a）））遞增，在（ln（-a），0）遞減，在（0，+∞）遞增，而f（0）=0，此時函數恰有兩個零點；
a∈（-∞，-1），時，x₂＞0，函數在（-∞，0）遞增，在（0，ln（-a））遞減，在（ln（-a），+∞）遞增，而f（0）=0，此時函數恰有兩個零點；
綜上，則a的取值范圍是：（-∞，-1）∪（-1，0）
故答案為：（-∞，-1）∪（-1，0）

點評 本題考查函數的極值，函數的單調性以及函數的零點個數的問題，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力，屬于難題．