Question

11．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G為BC的中點，求證：
（1）OG∥平面ABFE；
（2）AC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）推導出OG∥AB，由此能證明OG∥平面ABFE．
（2）推導出AC⊥BD，FG⊥平面ABCD，從而EO⊥平面ABCD，進而EO⊥AC，由此能證明AC⊥平面BDE．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，
∴O是AC中點，
∵G為BC的中點，∴OG∥AB，
∵OG?平面ABFE，AB?平面ABFE，
∴OG∥平面ABFE．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點O，
∴AC⊥BD，O是AC中點，
∵G為BC的中點，∵EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，
∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，
∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想是，是中檔題．