Question

9．f（x）=|x-a|+|2x+1|
（1）a=1，解不等式f（x）≤3；
（2）f（x）≤2a+x在[a，+∞）上有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式的解集取并集即可；
（2）求出f（x）的最大值，問題轉化為不等式化為2x+1≤3a有解，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=|x-1|+|2x+1|，
故$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{1-x-1-2x≤3}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{1-x+2x+1≤3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+2x+1≤3}\end{array}}\right.$，
解得：$-1≤x＜-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}≤x≤1$或x∈∅，
所以原不等式解集為{x|-1≤x≤1}．
（2）∵x∈[a，+∞），
∴f（x）=|x-a|+|2x+1|=x-a+|2x+1|≤2a+x，
故|2x+1|≤3a有解，所以a≥0，
∴不等式化為2x+1≤3a有解，
即2a+1≤3a⇒a≥1．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質以及分類討論思想，是一道中檔題．