Question

10．已知函數f（x）=|xe^x|，方程f²（x）-tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，則t的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{{{e^2}+1}}{e}，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{{{e^2}+1}}{e}）$
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 函數f（x）=|xe^x|化成分段函數，通過求導分析得到函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（-∞，-1）上為增函數，在（-1，0）上為減函數，求得函數f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值 $\frac{1}{e}$，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，f（x）的值一個要在（0，$\frac{1}{e}）$，內，一個在（$\frac{1}{e}$，+∞）內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解t的取值范圍．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}…（x≥0）}\\{-x{e}^{x}…（x＜0）}\end{array}\right.$
當x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數，
所以函數f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
要使方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在（0，$\frac{1}{e}$），一個根在（$\frac{1}{e}，+∞）$內．
再令g（m）=m^2_-m+1，因為g（0）=1＞0，則只需g（$\frac{1}{e}$）＜0，即$（\frac{1}{e}）^{2}-\frac{1}{e}•t+1＜0$
t＞$\frac{{e}^{2}+1}{e}$．
故選：A．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了利用函數的導函數分析函數的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四個實數根時f（x）的取值情況，屬于中高檔題