Question

2．函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且在[1，+∞）單調遞減，f（0）=0，則f（x+1）＞0的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由對稱性可得f（2）=0，f（x）在（-∞，1）上單調遞增，討論x+1≥1，x+1＜1，運用單調性，解不等式，最后求并集即可得到解集．

解答 解：由f（x）的圖象關于x=1對稱，f（0）=0，
可得f（2）=f（0）=0，
當x+1≥1時，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上單調遞減，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
當x+1＜1即x＜0時，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（-∞，1）上單調遞增，可得：
x+1＞0，解得x＞-1，即有-1＜x＜0②
由①②，可得解集為（-1，1）．
故選：B．

點評 本題考查函數的單調性和對稱性的運用：解不等式，主要考查單調性的定義的運用和不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中檔題．