Question

5．已知點P（x，y）滿足x²+y²＜2，則滿足到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離d∈[1，3]的點P概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}+\frac{π}{2}$
• B． $\frac{1}{2}-\frac{π}{2}$
• C． $\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$
• D． $\frac{1}{4}+\frac{1}{2π}$

Answer 1

分析 根據平行線的距離公式求出滿足條件．的直線對應的區域，求出對應的面積，利用幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答 解：設與直線x-y+2$\sqrt{2}$=0平行的直線方程為x-y+c=0，
若兩平行直線的距離d=1，則d=$\frac{丨2\sqrt{2}-c丨}{\sqrt{2}}$=1，
解得c=$\sqrt{2}$或c=3$\sqrt{2}$，此時直線方程為x-y+$\sqrt{2}$=0或x-y+3$\sqrt{2}$=0，
圓心O，若兩平行直線的距離d=3，則d=$\frac{丨2\sqrt{2}-c丨}{\sqrt{2}}$=3，
解得c=-$\sqrt{2}$或c=5$\sqrt{2}$，
∴直線方程為x-y-$\sqrt{2}$=0或x-y+5$\sqrt{2}$=0，
若滿足到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離d∈[1，3]的點P，
則P對應的區域為陰影部分，
則第二象限，三角形OAB的面積S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=1，則第二象限內弓型的面積S=$\frac{1}{4}$•π（$\sqrt{2}$）²-1=$\frac{π}{2}$-1，
則陰影部分的面積為2π-2（$\frac{π}{2}$-1）=π+2，
則滿足到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離d∈[1，3]的點P概率為$\frac{π+2}{2π}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{2}$，
故選A．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，利用平行線的距離公式，結合對應區域的面積是解決本題的關鍵，屬于中檔題．