Question

14．如圖，已知正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，M，N 分別是棱 AA₁，AB上的點，且 AM=AN=1
（1）求證：平面AMN∥平面DD₁C
（2）平面 MNCD₁將此正方體分為兩部分，求這兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （1）推導出AN∥平面DD₁C，AM∥平面DD₁C，由此能證明平面AMN∥平面DD₁C．
（2）記平面MNCD₁ 將正方體分成兩部分的下部分體積為V₁，上部分體積為V₂，連接D₁A，D₁N，DN，則幾何體 D₁-AMN，D₁-ADN，D₁-CDN均為三棱錐，由此能求出平面 MNCD₁分此正方體的兩部分體積的比．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵M，N 分別是棱 AA₁，AB上的點，且 AM=AN=1，
∴AN∥DC，
又∵DC?平面DD₁C，AN?平面DD₁C，
∴AN∥平面DD₁C，
同理，AM∥平面DD₁C，
又∵AM∩AN=A，∴平面AMN∥平面DD₁C．
解：（2）記平面MNCD₁ 將正方體分成兩部分的下部分體積為V₁，上部分體積為V₂，
如圖，連接D₁A，D₁N，DN，則幾何體 D₁-AMN，D₁-ADN，D₁-CDN均為三棱錐，
∴${V}_{1}={V}_{{D}_{1}-AMN}+{V}_{{D}_{1}-ADN}+{V}_{{D}_{1}-CDN}$
=$\frac{1}{3}{S}_{△AMN}•{D}_{1}{A}_{1}$+$\frac{1}{3}{S}_{△ADN}•{D}_{1}D$+$\frac{1}{3}{S}_{△CDN}•{D}_{1}D$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3+\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×3+\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×3$
=$\frac{13}{2}$，
從而${V}_{2}={V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}-{V}_{AMN-{D}_{1}C}$=27-$\frac{13}{2}$=$\frac{41}{2}$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{13}{41}$．
所以平面MNCD₁分此正方體的兩部分體積的比為$\frac{13}{41}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查平面分正方體的兩部分體積的比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．