Question

9．（文科）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）設BC=3，求四棱錐B-DAA₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證AB₁∥平面BC₁D，只需證明AB₁平行平面BC₁D中的一條直線，利用三角形的中位線平行與第三邊，構造一個三角形AB1C，使AB₁成為這個三角形中的邊，而中位線OD恰好在平面BC₁D上，就可得到結論．
（2）作BE⊥AC，垂足為E，推導出AA₁⊥BE，BE⊥平面AA₁C₁C．由此能求出四棱錐B-AA₁C₁D的體積．

解答 證明：連接B₁C，設B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B是平行四邊形，
∴點O為B₁C的中點，
∵D為AC的中點，
∴OD為△AB₁C的中位線，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）作BE⊥AC，垂足為E，
∵側棱AA₁⊥底面ABC，BE?底面ABC
∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A
∴BE⊥平面AA₁C₁C．
在Rt△ABC中，BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=3．

點評 本題以三棱柱為載體，考查線面平行，考查線面角，考查面面角，解題的關鍵是正確運用線面平行的判定，作出線面角，面面角，計算較繁，需要細心．