Question

1．已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當a=-1時，求函數的最大值和最小值；
（2）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數
（3）已知函數y=x+$\frac{t}{x}$有如下性質：
如果常數t＞0，那么該函數（0，$\sqrt{t}$]上是減函數，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數．
利用上述性質，直接寫出函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x∈（0，5]的單調區間，并求值域．

Answer 1

分析 （1）直接將a=-1代入函數解析式，求出最大最小值．
（2）先求f（x）的對稱軸x=-a，所以若y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數，則區間[-5，5]在對稱軸的一邊，所以得到-a≤-5，或-a≥5，這樣即得到了a的取值范圍；
（3）利用函數y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數，即可得出結論．

解答 解：（1）當a=-1時，函數f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的對稱軸為x=1，
∴y=f（x）在區間[-5，1]單調遞減，在（1，5]單調遞增，…2
且f（-5）=37，f（5）=17＜37…3
∴f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（-5）=37…5
（2）∵f（x）=x²+2ax+2在區間[-5，5]上是單調函數，
∴對稱軸x=-a∉[-5，5]…6
即-a≤-5或-a≥5，即a≥5，或a≤-5…8
（3）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+2a+$\frac{2}{x}$，x∈[-5，5]
且函數y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數．
∴g（x）在（0，$\sqrt{2}$）單調遞減，[$\sqrt{2}$，5]單調遞增…10
且g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2a，x→+∞時，g（x）→+∞，
∴g（x）的值域為[2$\sqrt{2}$+2a，+∞）…12

點評 本題考查了二次函數的單調性以及最大最小值問題，屬于常見題型，應該熟練掌握．