Question

11．設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果實數a，b滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（{b}^{2}-8b-2）≤0}\\{f（b+1）＞f（5）}\end{array}\right.$，那么a²+b²的取值范圍是（　　）

• A． [9，49]
• B． （17，49]
• C． [9，41]
• D． （17，41]

Answer 1

分析 由f（-x）+f（x）=0恒成立，得到函數為奇函數，可將不等式可化為f（a²-6a+23）≤f（2-b²+8b），利用f（x）的單調性，可化為關于a，b的整式不等式（a-3）²+（b-4）²≤4，分析（a-3）²+（b-4）²≤4的幾何意義，即可求得a²+b² 的取值范圍

解答 解：∵對于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（a²-6a+23）+f（b²-8b-2）≤0，
∴f（a²-6a+23）≤-f（2-b²+8b），
∵f（x）是定義在R上的增函數，
∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
整理為（a-3）²+（b-4）²≤4（b＞4）
∵（a-3）²+（b-4）²=4的圓心坐標為：（3，4），半徑為2，

∴（a-3）²+（b-4）²=4（b＞4）內的點到原點距離的取值范圍為
（$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$，$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$+2]，即（$\sqrt{17}$，7]，
∵a²+b² 表示（a-3）²+（b-4）²=4內的點到原點距離的平方，
∴a²+b² 的取值范圍是（17，49]．
故選：B

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性，考查不等式的含義，解題的關鍵是確定半圓內的點到原點距離的取值范圍．