Question

10．已知圓C經過點A（2，0），與直線x+y=2相切，且圓心C在直線2x+y-1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l經過點（0，1），并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓C的圓心經過直線2x+y-1=0上，可設圓心為C（a，1-2a）．由點到直線的距離公式表示出圓心C到直線x+y=2的距離d，然后利用兩點間的距離公式表示出AC的長度即為圓的半徑，然后根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標及半徑，然后根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離為1，即可得出結論．

解答 解：（1）因為圓心C在直線2x+y-1=0上，可設圓心為C（a，1-2a）．
則點C到直線x+y=2的距離d=$\frac{|-a-1|}{\sqrt{2}}$．
據題意，d=|AC|，則$\frac{|-a-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-2a）^{2}}$，
解得a=1．
所以圓心為C（1，-1），半徑r=d=$\sqrt{2}$，
則所求圓的方程是（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）k不存在時，x=0符合題意；
k存在時，設直線方程為kx-y+1=0，圓心到直線的距離$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線方程為3x+4y-4=0．
綜上所述，直線方程為x=0或3x+4y-4=0．

點評 此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．