Question

15．在一次研究性學習中，老師給出函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1）．甲、乙、丙、丁四位同學在研究此函數時給出下列結論：
①當x＞0時，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）=0有2個不相等實根；
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
④函數f（x）在R為減函數，
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據f（x）為奇函數，可設x＞0，從而有-x＜0，從而可求出f（x）=e^-x（x-1），從而可看出-1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，從而判斷出③的正誤，可分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導數，根據導數符號可判斷f（x）的單調性．

解答 解：對于①，f（x）為R上的奇函數，設x＞0，-x＜0，則：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1），∴①錯誤；
對于②，∵f（-1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；
∴f（x）有3個零點，∴②錯誤；
對于③，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1）；∴-1＜x＜0時，f（x）＞0；
當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1）；∴x＞1時，f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），∴③正確；
對于④，（1）x＜0時，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2時，f′（x）＜0，-2＜x＜0時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-2上單調遞減，在（-2，0）上單調遞增；
∴④錯．
故選：A

點評 考查奇函數的定義，對于奇函數，已知一區間上的解析式，求其對稱區間上解析式的方法，函數零點的定義及求法，指數函數的值域，以及根據導數符號判斷函數單調性，屬于中檔題．