Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，2]時，求函數y=f（x-1）+f（x+1）的最小值及取最小值時相應的x的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）化簡函數的解析式為y=f（x-1）+f（x+1）=2

2

sin（

π

4

x+

π

4

），結合x的范圍利用正弦函數的定義域和值域，求得y最小值及取最小值時相應的x的值．

解答： 解：（1）由函數的圖象可得A=2，T=

2π

ω

=7+1=8，求得ω=

π

4

．
再根據五點法作圖可得

π

4

×（-1）+φ=0，∴φ=

π

4

，
∴函數f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）函數y=f（x-1）+f（x+1）=2sin[

π

4

（x-1）+

π

4

]+2sin[

π

4

（x+1）+

π

4

]
=2sin

π

4

x+2cos

π

4

x=2

2

sin（

π

4

x+

π

4

），
再根據x∈[-2，2]，可得

π

4

x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
故當

π

4

x+

π

4

=-

π

4

時，即 x=-2時，函數y取得最小值為2

2

sin（-

π

4

）=-2．

點評：由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．